Question

設(shè)定義在[a，b]（a≥-4）上的函數(shù)f（x），若函數(shù)與f（x）的定義域與值域都相同，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．

Answer 1

分析：令，由題意知函數(shù)的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4），由于函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，從而可轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間[-4，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等的根．構(gòu)造函數(shù)，y=x-2m，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，從而得解．
解答：令，由題意知函數(shù)的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4）
又函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，即方程在區(qū)間[-4，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等的根．
如圖，構(gòu)造函數(shù)，y=x-2m則可知直線與拋物線相切時(shí)，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（-4，0）時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（-4，0）時(shí)，-4-2m=0，∴m=-2
根據(jù)圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間[-4，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等的根，從而利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．