Question

已知a、b、c∈R⁺,且a+b+c=1,

求證：（≥8.

Answer 1

分析：這是一個(gè)條件不等式的證明問題，要注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和條件a+b+c=1的合理應(yīng)用.可用綜合法和分析法兩種方法證明.

證法一：(綜合法）

（-1）(-1)(-1)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)，所以不等式成立.

證法二:(分析法)

要證（-1）(-1)(-1)≥8成立，

只需證≥8成立.

因?yàn)?I >a+b+c=1,

所以只需證≥8成立，

即≥8.

只需證≥8成立.

而≥8顯然成立,

∴≥8成立.

綠色通道:

綜合法是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論；而在分析法中，從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是使結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實(shí)或已知.

在證明不等式時(shí)要注意應(yīng)用重要不等式和不等式的性質(zhì)，要注意基本不等式應(yīng)用的條件及等號(hào)成立的條件.