Question

如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北30°的方向上，仰角為15°，行駛4km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北45^o的方向上．
①求此山的高度；
②設(shè)汽車行駛過程中仰望山頂D的最大仰角為θ，求tanθ．

Answer 1

分析：①設(shè)此山高h(yuǎn)（m），進(jìn)而在△ACD中，利用仰角的正切表示出AC，進(jìn)而在△ABC中利用正弦定理求得h．
②過C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE，則可表示出CE和DC，則tanθ可求得．

解答：解：①設(shè)此山高h(yuǎn)（m），則AC=

h

tan150

，
在△ABC中，∠B=135°，∠C=45°-30°=15°，AB=4000．
根據(jù)正弦定理得

AC

sinB

=

AB

sinC

，
即

h

sin1350×tan150

=

4000

sin150

，
解得h=4000(

3

-1)（m）．
②過C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE，
則∠DEC=θ，CE=ACsin30°，DC=ACtan15°，
所以tanθ=

DC

CE

=4-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，將各個(gè)已知條件向這個(gè)主三角形集中，再通過正弦、余弦定理或其他基本性質(zhì)建立條件之間的聯(lián)系，列方程或列式求解．