Question

12．已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（8，m）和（9，3）．
（1）求m的值；
（2）若函數(shù)g（x）=log_af（x）在區(qū)間[16，36]上的最大值比最小值大1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意y=f（x）是冪函數(shù)，設(shè)設(shè)f（x）=x^α，圖象過點(diǎn)（8，m）和（9，3）即可求解m的值．
（2）函數(shù)g（x）=log_af（x）在區(qū)間[16，36]上的最大值比最小值大1，對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論，利用單調(diào)性求最值，可得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）由題意，y=f（x）是冪函數(shù)，設(shè)f（x）=x^α，圖象過點(diǎn)（8，m）和（9，3）
可得9^α=3，所以$α=\frac{1}{2}$，
故$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}$．
∴$m=f（8）={8^{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{2}$．
故得m的值為$2\sqrt{2}$．
（2）函數(shù)g（x）=log_af（x）即為$g（x）={log_a}\sqrt{x}$，
∵x在區(qū)間[16，36]上，
∴$\sqrt{x}∈[4，6]$，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）_min=log_a6，g（x）_max=log_a4，
由${log_a}4-{log_a}6={log_a}\frac{2}{3}=1$，
解得$a=\frac{2}{3}$；
②當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）_min=log_a4，g（x）_max=log_a6，
由${log_a}6-{log_a}4={log_a}\frac{3}{2}=1$，
解得$a=\frac{3}{2}$．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的值為$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的解析式的求法和對(duì)數(shù)函數(shù)的最值的討論及運(yùn)用．屬于中檔題．