如圖,兩個邊長為1的正方形ABCD與ABEF相交于AB,∠EBC=90°,M,N分別是BD,AE上的點,且AN=DM.
(1)求證:MN∥平面EBC;
(2)求MN長度的最小值.

【答案】分析:(1)首先分別以BA,BC,BE為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后確定點M、N的坐標(biāo),進(jìn)而確定的坐標(biāo),再找到平面EBC的一個法向量,并確定它的坐標(biāo),最后計算為0即可.
(2)由的坐標(biāo)表示出其長度,再利用配方法即可求出它的最小值.
解答:(1)證明:依題意可分別以BA,BC,BE為x軸,y軸,z軸建立;
如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
因為正方形ABCD與ABEF的邊長為1,且AN=DM,
所以設(shè)BM=x,則NE=x,NA=-x,且x
所以M(x,x,0),N(x,0,1-x),
所以=(0,-x,1-x),
因為平面EBC的一個法向量為=(1,0,0)
所以=0,即,
又MN?平面EBC,所以MN∥平面EBC.
(2)解:由(1)=(0,-x,1-x),得
||==
又x∈[0,],所以當(dāng)x=時,||min=
即MN長度的最小值為
點評:本題主要考查向量法解決立體幾何問題.
練習(xí)冊系列答案
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3
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[
2
+1
,
5
]
[
2
+1
,
5
]

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(2012•海淀區(qū)二模)某同學(xué)為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)
的性質(zhì),構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC,點P是邊BC上的一個動點,設(shè)CP=x,則AP+PF=f(x).請你參考這些信息,推知函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸是
x=
1
2
x=
1
2
;函數(shù)g(x)=4f(x)-9的零點的個數(shù)是
2
2

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