Question

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=，點E、F分別為棱AB、PD的中點．

（1）求證：AF∥平面PCE；

（2）求證：平面PCE⊥平面PCD.

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，�？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等．（Ⅱ）證明面面垂直需轉化證線面垂直;證明直線和平面垂直的常用方法（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推論（a∥b，a⊥αb⊥α）．（3）利用面面平行的性質（a⊥α，α∥βa⊥β）．（4）利用面面垂直的性質．

試題解析：（1）取PC的中點G，連結FG、EG

∴FG為△CDP的中位線 ∴FGCD

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點

∴ABCD ∴FGAE ∴四邊形AEGF是平行四邊形 ∴AF∥EG

又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面. 4分

（2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP 又AF平面ADP ∴CD⊥AF 8分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD為等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2

∵F是PD的中點 ∴AF⊥PD，又CDPD=D∴AF⊥平面PCD

∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD 又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD 12分

考點：立體幾何