Question

若（2x+

1

x

）ⁿ的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為

 

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出n，再用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：∵二項(xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
又∵二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)
∴展開式中共有5項(xiàng)
∴n=4
∴(2x+

1

x

)n=(2x+

1

x

)4
∵(2x+

1

x

)4展開式的通項(xiàng)為 Tr+1=

C

r 4

(2x)4-r (

1

x

)r=2^4-rC₄^rx^4-2r
令4-2r=0得r=2
∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為T₃=4C₄²=24
故答案為：24

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：二項(xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．