Question

9．關(guān)于的不等式$\frac{ax-1}{x+1}$＜0的解集為（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）
（1）求a的值；
（2）若x∈[1，2]，不等式x²-kx-k≥3a恒成立，求k的取值范圍；
（3）m∈R，解關(guān)于x的不等式mx²-（m+2）x-a＜0．

Answer 1

分析 （1）通過解方程，求出a的值即可；（2）將a的值代入，問題轉(zhuǎn)化為x²-kx-k+6≥0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出k的范圍即可；（3）問題轉(zhuǎn)化為解不等式（mx-2）（x-1）＜0，通過討論m的范圍，求出不等式的解即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的不等式$\frac{ax-1}{x+1}$＜0的解集為（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞），
∴ax-1=0的解是-$\frac{1}{2}$，解得：a=-2；
（2）若x∈[1，2]，不等式x²-kx-k≥3a恒成立，
由a=-2，得：x²-kx-k+6≥0在x∈[1，2]上恒成立，
令f（x）=x²-kx-k+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2}＜1}\\{f（1）=7-2k≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2}＞2}\\{f（2）=10-3k≥0}\end{array}\right.$，
解得：k＜2；
（3）m∈R，解關(guān)于x的不等式mx²-（m+2）x-a＜0，
由a=-2得：mx²-（m+2）x+2＜0，
∴（mx-2）（x-1）＜0，
0＜m＜2時：解得：1＜x＜$\frac{2}{m}$，
m＞2時：解得：$\frac{2}{m}$＜x＜1，
m=0時：解得：x＞1，
m＜0時：x＞1或x＜$\frac{2}{m}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，考查解不等式問題，是一道中檔題．