Question

11．已知直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=4acosθ（a＞0）．
（1）求直線1的普通方程及曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=8$\sqrt{5}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²sin²θ=4aρcosθ（a＞0），由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的普通方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C：y²=4ax．（a＞0），得：$\frac{1}{4}{t}^{2}+（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）t+（3+4a）=0$，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程為x+$\sqrt{3}y$-2=0．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρsin²θ=4acosθ（a＞0），
∴ρ²sin²θ=4aρcosθ（a＞0），
由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得曲線C的普通方程為y²=4ax．（a＞0）．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）代入曲線C：y²=4ax．（a＞0），
整理，得：$\frac{1}{4}{t}^{2}+（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）t+（3+4a）=0$，
設(shè)方程的兩個(gè)根為t₁，t₂，則${t}_{1}+{t}_{2}=-4（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）$，t₁t₂=4（3+4a），
∵直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=8$\sqrt{5}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{[-4（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）]^{2}-16（3+4a）}$=8$\sqrt{5}$，
由a＞0，解得a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和曲線的普通方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)的互化、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．