Question

利用定積分的定義求直線x=1,x=2,y=0和曲線y=x³圍成的圖形的面積.

Answer 1

解析：(1)分割將求面積的曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，用分點,,…,

將區(qū)間［1,2］等分成n個小區(qū)間,如圖所示,［1,］,［,］,…,［,］,…,［,2］,每個區(qū)間的長度為Δx=-=，過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作ΔS₁，ΔS₂，…，ΔS_n.

(2)近似代替

    取各小區(qū)間的左端點記為ε_i，用以點ε_i的縱坐標(ε_i)³為一邊，以小區(qū)間長Δx=為其鄰邊的小矩形面積代替第i個小曲邊梯形的面積，可近似地表示為ΔS_i≈ε³_i·Δx=()³· (i=1,2,…,n).

(3)作和

    因為每小矩形的面積都可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即S=≈·Δx=·               ①

(4)求極限

    當分點數(shù)目越多，即Δx越小，和式①的值就越接近于曲邊梯形ABCD的面積S，因此,當n→∞即Δx→0時，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積.

∴·=

=

=［n(n-1)³+3(n-1)²·+3(n-1)·n(n+1)(2n+1)+n²(n+1)²］.

∴S=·=1++1+=.