Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1）且與x軸有唯一的交點（﹣1，0）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，設函數(shù)F（x）=f（x）﹣mx，若F（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx，x∈[﹣2，2]，記此函數(shù)的最小值為h（k），求h（k）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得c=1， ，b2﹣4ac=0

解得a=1，b=2，c=1，

從而f（x）=x2+2x+1；

（2）解：F（x）=x2+（2﹣m）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上，

當 或 ，即m≤﹣2或m≥6時，F(xiàn)（x）在[﹣2，2]上單調(diào)，

故實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；

（3）解：g（x）=x2+（2﹣k）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上

當 ，即k≤﹣2時，F(xiàn)（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)F（x）的最小值g（k）=F（﹣2）=2k+1

當 即﹣2＜k≤6時，F(xiàn)（x）在 上遞減，在 上遞增

此時函數(shù)F（x）的最小值 ；

當 即k＞6時，F(xiàn)（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞減，

此時函數(shù)F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k；

綜上，函數(shù)F（x）的最小值

【解析】（1）依題意得c=1， ，b2﹣4ac=0，解方程組求出a，b，c值，可得f（x）的表達式；（2）函數(shù)F（x）=x2+（2﹣m）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上，若F（x）在區(qū)間[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間在對稱軸的一側(cè)，進而得到實數(shù)m的取值范圍；（3）g（x）=x2+（2﹣k）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上，不同情況下g（x）在區(qū)間[﹣2，2]上單調(diào)性，進而可得函數(shù)的最小值為h（k）的解析式．