Question

如圖，設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，直線l為左準(zhǔn)線，直線l與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長軸，已知，且．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的長軸求得橢圓方程中的a，利用橢圓的定義和求得離心率，進(jìn)而求得c，則b的值可得，最后求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程整理后利用韋達(dá)定理表示出y_A+y_B和y_Ay_B，進(jìn)而根據(jù)S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF|表示出△ABF面積利用基本不等式求得面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得2a=8，∴a=4．
又，∴
∴c=2，b²=a²-c²=12．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）設(shè)過P點(diǎn)的直線AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，，．
而．
即．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，且滿足△＞0．
∴△ABF面積的最大值是．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系．解題最后注意對所求的m的值代入判別式進(jìn)行驗(yàn)證．保證答題的嚴(yán)密性．