Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)a＜0時，試求方程f（x）=0根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：先對函數(shù)求導(dǎo)可得f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）
（1）當(dāng)a=-2時，f′（x）=-6（x+1）（x-1），分析導(dǎo)數(shù)的符號變化以確定函數(shù)的單調(diào)性的改變，從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值
（2）當(dāng)a＜0時，可得從而可求函數(shù)f（x）在，（1，+∞）遞減；在遞增，結(jié)合函數(shù)值的符號及函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的f（x）零點個數(shù)．
解答：解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1）
（1）當(dāng)a=-2時，f′（x）=-6（x+1）（x-1）
令f′（x）=0得x₁=1x₂=-1

	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	減	極小值	增	極大值	減

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1）
f（x）_極小值=-7f（x）_極大值=1（6分）
（2）當(dāng)a＜0時，∴f（x）在，（1，+∞）遞減；在遞增，（9分）
又∵，（11分）∴f（x）有三個零點．
∴當(dāng)a＜0時，f（x）有三個零點．（12分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的符號變化判斷函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的極值問題，此類問題由于含有參數(shù)，常涉及到分類討論的思想，還體現(xiàn)了方程與函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的思想．