Question

圖6

我們把由半橢圓=1(x≥0)與半橢圓=1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,其中a²=b²+c²,a＞0,b＞c＞0.

如圖6,點(diǎn)F₀、F₁、F₂是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),A₁、A₂和B₁、B₂分別是“果圓”與x、y軸的交點(diǎn).〔(文)M是線段A₁A₂的中點(diǎn)〕

(1)(理)若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形,求“果圓”的方程.

(2)(理)當(dāng)|A₁A₂|＞|B₁B₂|時(shí),求的取值范圍.

(文)設(shè)P是“果圓”的半橢圓=1(x≤0)上任意一點(diǎn),求證:當(dāng)|PM|取得最小值時(shí),P在點(diǎn)B₁、B₂或A₁處.

(3)(理)連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究:是否存在實(shí)數(shù)k,使斜率為k的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,請說明理由.

(文)若P是“果圓”上任意一點(diǎn),求|PM|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

Answer 1

解：(1)(理)∵F₀(c,0),F₁(0,),F₂(0,),

∴|F₀F₂|==b=1,|F₁F₂|==1.

于是c²=,a²=b²+c²=,所求“果圓”方程為x²+y²=1(x≥0),y²+x²=1(x≤0).

(2)(理)由題意,得a+c＞2b,即＞2b-a.

∵(2b)²＞b²+c²=a²,∴a²-b²＞(2b-a)²,得＜.

又b²＞c²=a²-b²,∴＞.∴∈(,).

(文)設(shè)P(x,y),則|PM|²=(x)²+y²=(1)x²-(a-c)x++b²,-c≤x≤0,∵1＜0,

∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到,即當(dāng)|PM|取得最小值時(shí),P在點(diǎn)B₁、B₂或A₁處.

(3)(理)設(shè)“果圓”C的方程為=1(x≥0),=1(x≤0).

記平行弦的斜率為k.

當(dāng)k=0時(shí),直線y=t(-b≤t≤b)與半橢圓=1(x≥0)的交點(diǎn)是P(a,t),與半橢圓=1(x≤0)的交點(diǎn)是Q(-c,t).

∴P、Q的中點(diǎn)M(x,y)滿足得=1.

∵a＜2b,∴≠0.

綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上.

當(dāng)k＞0時(shí),以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓=1(x≥0)的交點(diǎn)是().

由此,在直線l右側(cè),以k為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線y=x上,即不在某一橢圓上.

當(dāng)k＜0時(shí),可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上.

(文)∵|A₁M|=|MA₂|,且B₁和B₂同時(shí)位于“果圓”的半橢圓=1(x≥0)和半橢圓=1(x≤0)上,∴由(2)知,只需研究P位于“果圓”的半橢圓=1(x≥0)上的情形即可.

|PM|²=(x)²+y²=[x]²+b²+.

當(dāng)x=≤a,即a≤2c時(shí),|PM|²的最小值在x=時(shí)取到,此時(shí)P的橫坐標(biāo)是.

當(dāng)x=＞a,即a＞2c時(shí),由于|PM|²在x＜a時(shí)是遞減的,|PM|²的最小值在x=a時(shí)取到,此時(shí)P的橫坐標(biāo)是a.

綜上所述,若a≤2c,當(dāng)|PM|取得最小值時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是;若a＞2c,當(dāng)|PM|取得最小值時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是a或-c.