Question

【題目】函數(shù)， .（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若對(duì)于，總有.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求證：對(duì)于，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn). （2）①②見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)實(shí)根分布：當(dāng)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，無(wú)極值；當(dāng)，分時(shí)，兩個(gè)正根，有兩個(gè)極值點(diǎn)； 時(shí)，兩個(gè)負(fù)根，無(wú)極值點(diǎn)（2）①不等式恒成立問(wèn)題利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題： ，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，并得最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍；②由①轉(zhuǎn)化證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，可得

試題解析： 解：由題意得 ，令，

（1）當(dāng)，即時(shí)， 對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)，即或，

①時(shí)，設(shè)方程兩個(gè)不同實(shí)根為，不妨設(shè)，

則， ，故，

或時(shí)， ；在時(shí)，

故是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).

②時(shí)，設(shè)方程兩個(gè)不同實(shí)根為，

則， ，故， ，

時(shí)， ；故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).

（2）① ， 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，所以

②只需證明 易得在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增， ，得證.