設,且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行。
(Ⅰ)求的值,并討論的單調性;
(Ⅱ)證明:當
(Ⅰ)函數(shù)的增區(qū)間為 減區(qū)間為
(Ⅱ)見解析
【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用導數(shù)來判定函數(shù)單調性和研究函數(shù)的最值的綜合運用。(1)利用,且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行,求解得到參數(shù)a的值,然后代入函數(shù)式中求解導數(shù)大于零或者小于零的解集,得到結論。
(2)在第一問的基礎上,根據(jù)在單調增加,故在的最大值為
最小值為,從而證明即可。顯然成立
解:(Ⅰ)
由題知: 所以 =-1 ………2分
此時:
所以函數(shù)的增區(qū)間為 減區(qū)間為 ………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在單調增加,故在的最大值為,
最小值為
從而對任意,,有
而當時, 從而
科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖北岳中高中一輪復習理科數(shù)學滾動測試三解析版 題型:解答題
(14分)設函數(shù)f(x)=ax2+bx+k(k>0)在x=0處取得極值,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線x+2y+1=0.
(1)求a,b的值;
(2)若函數(shù)g(x)=,討論g(x)的單調性.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)(第一問8分,第二問5分)
已知函數(shù)f(x)=2lnx,g(x)=ax2+3x.
(1)設直線x=1與曲線y=f(x)和y=g(x)分別相交于點P、Q,且曲線y=f(x)和y=g(x)在點P、Q處的切線平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3x+k有四個不同的實根,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設函數(shù)F(x)滿足F(x)+x[f′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù);試問是否存在實數(shù)a,使得當x∈(0,1]時,F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆湖南省澧縣一中、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)(第一問8分,第二問5分)
已知函數(shù)f(x)=2lnx,g(x)=ax2+3x.
(1)設直線x=1與曲線y=f(x)和y=g(x)分別相交于點P、Q,且曲線y=f(x)和y=g(x)在點P、Q處的切線平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3x+k有四個不同的實根,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設函數(shù)F(x)滿足F(x)+x[f′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù);試問是否存在實數(shù)a,使得當x∈(0,1]時,F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
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