Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG=4，AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；
（2）求點D到平面PBG的距離；
（3）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以G點為原點，GB，GC，GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，寫出兩條異面直線對應(yīng)的向量，根據(jù)兩個向量的所成的角確定異面直線所成的角．
（2）計算點到面的距離，需要先做出面的法向量，在法向量與點到面的一個點所成的向量之間的運算，得到結(jié)果．
（3）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)兩條線段垂直，得到兩個向量的數(shù)量積等于0，解出點到坐標(biāo)，根據(jù)向量的模長之比等于線段之比，得到結(jié)果．
解答：解：（1）以G點為原點，GB，GC，GP為x軸、y軸、
z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，4），故E（1，1，0）=（1，1，0），=（0，2，4）．
cos=，
∴GE與PC所成的余弦值為
（2）平面PBG的單位法向量=（0，±1，0）
∵，
∴點D到平面PBG的距離為|•|=
（3）設(shè)F（0，y，z），則
∵，
∴，
∴y=，又，即（0，，z-4）=λ（0，2，-4），∴z=1，
故F（0，，1），，，
∴=3．
點評：本題考查空間幾何量的計算，準(zhǔn)確把握立體幾何的最新發(fā)展趨勢：這樣可以減低題目的難度，堅持向量法與公理化法的“雙軌”處理模式，在復(fù)習(xí)備考時應(yīng)引起高度注意．