Question

甲、乙、丙三人進行象棋比賽，每兩人比賽一場，共賽三場．每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為

2

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

5

．
（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率；
（2）設(shè)在該次比賽中，甲得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）甲獲第一表示甲勝乙且甲勝丙，這兩個事件是相互獨立事件，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．丙獲第表示丙勝乙，根據(jù)對立事件的概率知概率，甲獲第一名且丙獲第二名的概率根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知ξ可能取的值為O、3、6，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，
∴甲獲第一的概率為

2

3

×

1

4

=

1

6

丙獲第二，則丙勝乙，其概率為1-

1

5

=

4

5

∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率為

1

6

×

4

5

=

2

15

（2）ξ可能取的值為O、3、6
甲兩場比賽皆輸?shù)母怕蕿镻（ξ=0）=

1

3

×

3

4

=

1

4

甲兩場只勝一場的概率為P(ξ=3)=

2

3

×(1-

1

4

)+

1

4

×(1-

2

3

)=

7

12

甲兩場皆勝的概率為P(ξ=6)=

2

3

×

1

4

=

1

6

∴ξ的分布列是

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

∴ξ的期望值是Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率和對立事件的概率，本題是一個近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的一個問題，考的機會非常大．