Question

如圖,中,側(cè)棱與底面垂直,,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明:;
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）利用線線平行證明線面平行；（2）利用定義法或向量法求二面角

試題分析：

(1)證法一: 連接                    1分
由題意知,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn),
.                               3分
又平面,平面,   5分
平面.                    6分
證法二:取中點(diǎn),連,而 分別為與的中點(diǎn),
,   2分
,, ,
同理可證               4分
又 平面//平面.   5分
平面，平面.     6分
證法三(向量法):以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線
為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

于是
,,

向量是 平面的一個法向量   2分
，  4分
又                         5分
平面.                 6分
(2)解法一: 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線
為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
于是,,  8分
由(1)知是平面的一個法向量, .   10分
設(shè)平面的法向量為,,,
,
                12分
設(shè)向量和向量的夾 角為,則
  13分
二面角的的正弦值為  14分
解法二(幾何法):如圖,將幾何體補(bǔ)形成一 個正方體,連交于點(diǎn),連,

顯然,,都在同一平面上.…………7分
易證,,
平面,平面,
,又
平面.
取中點(diǎn),連,
分別是的中點(diǎn)
,
平面,   …………9分
且為垂足,即平 面,過點(diǎn)作于,
過作交于,連,
則即是所求二面角的補(bǔ)角. …………11分
在中,,
,,
在中，,
又
在中，， …………12分
. …………13分
所求二面角的正弦值為 …………14分
點(diǎn)評：高考中對立體幾何解答題的考查一般都體現(xiàn)為一題兩法(同一題兩種解法：傳統(tǒng)法與向量法).而運(yùn)用向量在解決立體幾何問題主要集中在法向量的應(yīng)用上，它可以證明空間線面的位置關(guān)系、求解空間角、距離.同時運(yùn)用空間向量解答立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)立體幾何中的“形”的推理方法，強(qiáng)化了代數(shù)運(yùn)算，從而降低了思維難度，且思路明確，過程較為程序化.