Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是線段EF的中點。
(Ⅰ)求證：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.

Answer 1

解: (Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,          
∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，                    
∴AM∥OE.                                      
∵平面BDE， 平面BDE，           
∴AM∥平面BDE.                           
(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，                             
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂線定理得BS⊥DF.
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。           
在RtΔASB中，
∴                   
∴二面角A—DF—B的大小為60º.               
方法二：
（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系。

設，連接NE，
則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,

又點A、M的坐標分別是
（）、（

∴NE∥AM.
又∵平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF.
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF.

即所求二面角A—DF—B的大小是60º.

解析