Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，且a₁=3．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學歸納法對你的結(jié)論進行證明．

Answer 1

解：（1）∵a₁=3，a_n+1=-na_n+1（n∈N^*），
∴a₂=×9-×1×3+1=4，
同理可求a₃=5，a₄=6，猜想：a_n=n+2（n∈N^*）；
（2）①當n=1時，a₁=3，結(jié)論成立；
②假設(shè)當n=k（k≥1，k∈N^*）時，結(jié)論成立，即a_k=k+2，
則當n=k+1時，a_k+1=-ka_k+1=（k+2）²-k（k+2）+1=（k+2）[k+2-k]+1=k+3=（k+1）+1，
即當n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①②得，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n+2（n∈N^*）．
分析：（1）a₁=3，a_n+1=-na_n+1（n∈N^*），將n=1，2，3代入上式計算，猜想即可；
（2）對于a_n=n+2（n∈N^*），用數(shù)學歸納法證明即可．①當n=1時，證明結(jié)論成立，②假設(shè)當n=k（k≥1，k∈N^*）時，結(jié)論成立，利用歸納假設(shè)，去證明當n=k+1時，結(jié)論也成立即可．
點評：本題考查數(shù)學歸納法，猜得a_n=n+2（n∈N^*）是關(guān)鍵，考查歸納推理與論證的能力，屬于中檔題．