Question

【題目】設(shè)，Xn是曲線y=X2n+2+1在點(diǎn)（1,2）處的切線與x軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（1）求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn=....,證明Tn

Answer 1

【答案】
（1）

Xn=1-=

（2）

證明：由題設(shè)和（1）中的計(jì)算結(jié)果知

TN=....=()2()2...()2

當(dāng)n=1，T1=，當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)?/span>=,所以Tn

綜上所述，n，均有Tn要證Tn，需考慮通項(xiàng)X2n-12,通過適當(dāng)放縮能夠使得每項(xiàng)相消即可證明均有Tn

證明：由題設(shè)和（1）中的計(jì)算結(jié)果知

TN=....=()2()2...()2

當(dāng)n=1時(shí)，T1=,當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)?/span>=,所以Tn

綜上所述，，均有Tn

【解析】
1、求導(dǎo)得，y'=(2x+2)x2n+1,因?yàn)閤=1，所以k=2n+2,從而在（1，2）處的切線方程為y-2= （2n+2）（x-1），
令y=0，解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xn=1-=。
2、證明：由題設(shè)和（1）中的計(jì)算結(jié)果知
TN=....=()2()2...()2
當(dāng)n=1，T1= ， 當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)?/span>=,所以Tn
綜上所述，n，均有Tn要證Tn，需考慮通項(xiàng)X2n-12,通過適當(dāng)放縮能夠使得每項(xiàng)相消即可證明均有Tn
證明：由題設(shè)和（1）中的計(jì)算結(jié)果知
TN=....=()2()2...()2
當(dāng)n=1時(shí)，T1=,當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)?/span>=,所以Tn
綜上所述，，均有Tn
【考點(diǎn)精析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知通項(xiàng)公式：或．