Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）記函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間即可; （Ⅱ）分離參數(shù)得：,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．

試題解析：（Ⅰ）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令，得；令，得；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個根，即，，

所以原式等價于.

因?yàn)?/span>，，所以原式等價于，

又由，作差得，，即.

所以原式等價于.

因?yàn)?/span>，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當(dāng)時，可見時，，所以在上單調(diào)遞增，又在恒成立，符合題意；

當(dāng)時，可見當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.