Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x-a|，a＞0，對x≥0，f（x-1）≥2f（x）恒成立，則a的取值范圍

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，可得x²+2x-1≤4|x-a|-2|x-1-a|，分x≥a+1，a＜x＜a+1，0＜x≤a三類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)a＞0時，對任意的x∈[0，∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，
?（x-1）²-2|x-1-a|≥2[x²-2|x-a|]（x∈[0，∞））恒成立，
?x²+2x-1≤4|x-a|-2|x-1-a|（x∈[0，∞））恒成立，
①若x≥a+1，則x²+2x-1≤2x-2a+2，整理得x²≤3-2a，
所以，（a+1）²≤3-2a，而a＞0，
解得：0＜a≤

6

-2；
②若a＜x＜a+1，則x²+2x-1≤6x-6a-2，即x²+4x+4≤3-6a，
依題意，a＜x＜a+1?a+2＜x+2＜a+3?（a+2）²＜（x+2）²=x²+4x+4≤3-6a＜（a+3）²，
解得a∈∅；
③若0＜x≤a，則x²+2x-1≤-2x+2a-2恒成立，即x²+4x+4≤3+2a恒成立，
∵y=x²+4x+4的對稱軸為x=-2，
∴y=x²+4x+4在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞增，∴y_max=a²+4a+4，依題意，a²+4a+4≤3+2a恒成立，
即（a+1）²≤0，解得a=-1，與a＞0不符，故舍去．
綜上所述，a的取值范圍為（0，

6

-2]
故答案為：（0，

6

-2]．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查函數(shù)恒成立問題，突出分類討論思想、不等式思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．