Question

已知過點(diǎn)A（0，1）斜率為k的直線l與圓（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
②求線段MN的中點(diǎn)軌跡方程；
③求證：

AM

•

AN

為定值；
④若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：①根據(jù)條件寫出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由相切得到d等于圓的半徑r，根據(jù)圓的半徑等于1列出關(guān)于k的方程，求出k的值，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可寫出直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍；
②把直線l的方程與圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可用k表示出x，同理用k表示出y，即可得到MN中點(diǎn)的軌跡方程；
③分別根據(jù)坐標(biāo)表示出

AM

和

AN

，然后利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則求出值為定值即可；
④分別用坐標(biāo)表示出

OM

和

ON

，然后利用

OM

•

ON

=12列出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．

解答：解：①過點(diǎn)A（0，1）斜率為k的直線l的方程為：y=kx+1，
當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，圓心（2，3）到直線l的距離d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，化簡(jiǎn)得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，
因?yàn)橹本�l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為：

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
②把直線方程與圓方程聯(lián)立得

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁和x₂為（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的兩個(gè)根，
則MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)x=

x1+x2

2

=

2(1+k)

1+k2

，同理消去x得到關(guān)于y的一元二次方程（1+k²）y²-（2+4k+6k²）y+12k²+4k+1=0，
得到縱坐標(biāo)y=

y1+y2

2

=

1+2k+3k2

1+k2

，
則線段MN的中點(diǎn)軌跡方程為：

x= 2(1+k) 1+k2 y= 1+2k+3k2 1+k2

；
③

AM

=（x₁，y₁-1），

AN

=（x₂，y₂-1），所以

AM

•

AN

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=7為常數(shù)．
④

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)滿足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及整體代換化簡(jiǎn)求值，掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，是一道綜合性較強(qiáng)的題．