(2012•武漢模擬)設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=lnx-ax.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)已知x1=
e
(e為自然對數(shù)的底數(shù))和x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點,求a的值并證明:x2e
3
2
分析:(I)先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),并確定函數(shù)的定義域,再解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即可分別求得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間,進(jìn)而利用極值定義求得函數(shù)的極值,由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)a,故為解不等式的需要,需討論a的正負(fù);
(II)將x1=
e
代入函數(shù)f(x),即可得a的值,再利用(I)中的單調(diào)性和函數(shù)的零點存在性定理,證明函數(shù)的另一個零點x2是在區(qū)間(e
3
2
,e
5
2
)上,即可證明結(jié)論
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x

①若a≤0,則f′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),無極值;
②若a>0,令f′(x)=0,得x=
1
a

當(dāng)x∈(0,
1
a
)時,f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(
1
a
,+∞)時,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù).
∴當(dāng)x=
1
a
時,f(x)有極大值,極大值為f(
1
a
)=ln
1
a
-1=-lna-1.
綜上所述,當(dāng)a≤0時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞),無極值;當(dāng)a>0時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,
1
a
),遞減區(qū)間為(
1
a
,+∞),極大值為-lna-1
(Ⅱ)∵x1=
e
是函數(shù)f(x)的零點,
∴f (
e
)=0,即
1
2
-a
e
=0,解得a=
1
2
e
=
e
2e

∴f(x)=lnx-
1
2
e
x.
∵f(e
3
2
)=
3
2
-
e
2
>0,f(e
5
2
)=
5
2
-
e2
2
<0,∴f(e
3
2
)•f(e
5
2
)<0.
由(Ⅰ)知,函數(shù)f(x)在(2
e
,+∞)上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(e
3
2
e
5
2
)上有唯一零點,
因此x2e
3
2
點評:本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值中的應(yīng)用,連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理及其應(yīng)用,分類討論的思想方法,屬中檔題
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907    966    191    925    271    932    812    458    569    683
431    257    393    027    556    488    730    113    537    989
據(jù)此估計,這三天中恰有兩天下雨的概率近似為(  )

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x2
16
-
y2
20
=1
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17

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lnx
x
-1

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2+n
n
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2+n
n
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1
5
,
3
5
1
5
,
3
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