已知數(shù)列{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,其前n項和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=1,bn>0,數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求證:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
3
4
分析:(Ⅰ)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得an,設(shè){bn}的公比為q,則bn=qn-1,由
ba2
ba1
=
b5
b3
=q2=64可求得q,從而可得bn;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn,對
1
Sn
拆項后利用裂項相消法可求得
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
,從而可得結(jié)論;
解答:解:(I)依題意有:an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1,
設(shè){bn}的公比為q,則bn=qn-1,
數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列,
ba2
ba1
=
b5
b3
=q2=64,解得q=8,
bn=8n-1;
(II)由(Ⅰ)可得,Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),
1
Sn
=
1
n(n+2)
=
1
2
(
1
n
-
1
n+2
)
,
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)

=
1
2
(1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
1
3
-
1
5
+…+
1
n
-
1
n+2
)

=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)<
3
4
點評:本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和,考查數(shù)列與不等式的綜合,裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容,要熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項a1=
1
4
的等比數(shù)列,其前n項和Sn中S3,S4,S2成等差數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log
1
2
|an|,若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求證:
1
6
≤Tn
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項為1的等差數(shù)列,且公差不為零,而等比數(shù)列{bn}的前三項分別是a1,a2,a6
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(II)若b1+b2+…bk=85,求正整數(shù)k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項和Sn=nan
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若cn=
1bn(2an+3)
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是首項a1=a,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an;
(1)若a1、a3、a4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若對任意n∈N*都有bn≥b5成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)數(shù)列{cn}滿足 cn+1-cn=(
12
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,當(dāng)a=-20時,求f(n)的最小值(n∈N*).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案