Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延長A₁C₁至點P，使C₁P=A₁C₁，連接AP交棱CC₁于點D．
（Ⅰ）求證：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：以A₁為原點，A₁B，A₁C，A₁A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標系，則我們易求出各個點的坐標，進而求出各線的方向向量及各面的法向量．
（I）要證明PB₁∥平面BDA₁，我們可以先求出直線PB₁的向量，及平面BDA₁的法向量，然后判斷證明這兩個向量互相垂直
（II）由圖象可得二面角A-A₁D-B是一個銳二面角，我們求出平面AA₁D與平面A₁DB的法向量，然后求出兩個法向量夾角的余弦值，得到結(jié)論．

解答：解：以A₁為原點，A₁B，A₁C，A₁A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標系，
則A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PAA₁中，C1D=

1

2

AA1，則D（0，1，

1

2

）
∴

A1B

=（1，0，1），

A1D

=（0，1，

1

2

），

B1P

=（-1，2，0）
設(shè)平面BDA₁的一個法向量為

a

=（a，b，c）
則

a • A1B =a+c=0 a • A1D =b+ 1 2 c=0

令c=-1，則

a

=（1，

1

2

，-1）
∵

a

•

B1P

=1×（-1）+

1

2

×2+（-1）×0=0
∴PB₁∥平面BDA₁
（II）由（I）知平面BDA₁的一個法向量

a

=（1，

1

2

，-1）
又

b

=（1，0，0）為平面AA₁D的一個法向量
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1

1× 3 2

=

2

3

故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值為

2

3

點評：利用向量法求空間夾角問題，包括以下幾種情況：
空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；
空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；
空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；