Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，滿(mǎn)足S_n=2a_n-1．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足bn=

1	log2(Sn+1)•log2(Sn+1+1)

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若對(duì)任意的x∈R，恒有T_n＜x²-ax+2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、根據(jù)題中已知條件先求出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，然后求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式便可求出Sn的表達(dá)式；
（2）、將（1）中求得的Sn的表達(dá)式代入bn的表達(dá)式中即可求得bn的通項(xiàng)公式，然后即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式；
（3）、將（2）中求得的Tn的表達(dá)式代入T_n＜x²-ax+2，進(jìn)一步推理即可得出x²-ax+1≥0在R上恒成立，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-1，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1（3分）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）
Sn=

1-2n

1-2

=2n-1(n∈N*)．

（2）bn=

1

log2(Sn+1)•log2(Sn+1+1)

=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)
∴Tn=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

(n∈N*)

（3）由T_n＜x²-ax+2恒成立，
即

n

n+1

＜x2-ax+2恒成立，
即1-

1

n+1

＜x2-ax+2恒成立，
必須且只須滿(mǎn)足1≤x²-ax+2恒成立，
即x²-ax+1≥0在R上恒成立
∴△=（-a）²-4×1≤0，
解得-2≤a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列與不等式的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列與不等式的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．