Question

11．在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的橢圓E的一個焦點為圓C：x²+y²-2$\sqrt{3}$x-1=0的圓心．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在斜率為-1的直線l，與橢圓交于A，B兩點，且滿足OA⊥OB．若存在，求該直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圓C的圓心，可得橢圓的c，再利用橢圓的離心率公式，建立方程，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
（2）假設存在直線l，將直線y=-x+m代入橢圓方程，利用韋達定理，OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可求m值，即可判斷存在性．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2$\sqrt{3}$x-1=0的圓心為（$\sqrt{3}$，0），
可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=2，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）假設存在斜率為-1的直線l，與橢圓交于A，B兩點，且滿足OA⊥OB．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$（*）可得5x²-8mx+4m²-4=0，
所以x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（m-x₁）（m-x₂）=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂
=m²-$\frac{8}{5}$m²+$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$，
由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
得x₁x₂+y₁y₂=0，
即為$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$+$\frac{{m}^{2}-4}{5}$=0，
解得m=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
又方程（*）要有兩個不等實根，
△=（-8m）²-20（4m²-4）＞0，解得-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$．
m的值符合上面條件，
所以存在斜率為-1的直線l的方程為y=-x±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．