Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

．
（1）若f（a）=2，求a的值；
（2）證明f（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞減；
（3）若x∈（1，4），求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）代入求值；（2）利用單調(diào)性定義法證明；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f(a)=

2a+1

2a-1

=2，
∴a=log₂3．
（2）證明：f(x)=

2x+1

2x-1

=

(2x-1)+2

2x-1

=1+

2

2x-1

，
任取x₁，x₂∈（0，4），且x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=(1+

2

2x1-1

)-(1+

2

2x2-1

)
=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

∵0＜x₁＜x₂，∴1＜2x1＜2x2，
∴2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞減．
（3）由（2）知f（x）在x∈（1，4）單調(diào)遞減，
∴f（4）＜f（x）＜f（1），
∴

17

15

＜f(x)＜2，
∴f（x）的值域為(

17

15

，2)．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明與單調(diào)性的應用求值域．屬于中檔題．