Question

（選做題）設函數f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果?x∈R，f（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=2，不等式即|x+1|+|x-2|≥5，根據絕對值的意義可得當x≤-2或x≥3時，|x+1|+|x-2|≥5成立，由此求得不等式的解集．
（II）若a=-1，f（x）=2|x+1|，不滿足題設條件．若a＜-1，求得f（x）的最小值等于-1-a，若a＞-1，求得f（x）的最小值等于 1+a，根據f（x）≥3的充要條件是|a+1|≥3，求出a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=2，f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式f（x）≥5即|x+1|+|x-2|≥5．
而|x+1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到-1、2對應點的距離之和，且-2和3對應點到-1、2對應點的距離之和正好等于5，
故當x≤-2或x≥3時，|x+1|+|x-2|≥5成立．
綜上，不等式的解集為{x|x≤-2或x≥3}．（5分）
（II）若a=-1，f（x）=2|x+1|，不滿足題設條件．
若a＜-1，f（x）=

-2x+a-1 ，  x≤a -1-a  ，  a＜x＜-1 2x+1-a  ， x≥a

，f（x）的最小值等于-1-a．
若a＞-1，

-2x+a-1 ，  x≤-1 1+a  ，  a＜x＜-1 2x+1-a  ， x≥a

，f（x）的最小值等于 1+a．
所以?x∈R，f（x）≥3的充要條件是|a+1|≥3，故有a≤-4，或 a≥2，
從而a的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．（10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，帶有絕對值的函數，函數最值及其幾何意義，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．