Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=56，2a_n+1=2a_n-12（n∈N^*）．
（1）求a₁₀₁；
（2）求此數(shù)列前n項和S_n的最大值；
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）推導出數(shù)列{a_n}是首項為56，公差為-6的等差數(shù)列，由此能求出a₁₀₁．
（2）由數(shù)列{a_n}是首項為56，公差為-6的等差數(shù)列，求出S_n=-3n²+59n，由此利用配方法能求出當n=10時，S_n的最大值．
（3）當n≤10時，數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n=S_n；當n≥11時，數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n=2S₁₀-S_n，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=56，2a_n+1=2a_n-12（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=-6，
∴數(shù)列{a_n}是首項為56，公差為-6的等差數(shù)列，
∴a_n=56+（n-1）×d=56-6n+6=-6n+62．
∴a₁₀₁=-6×101+62=-544．
（2）∵數(shù)列{a_n}是首項為56，公差為-6的等差數(shù)列，
∴S_n=56n+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-6）=-3n²+59n=-3（n-$\frac{59}{6}$）²+$\frac{3481}{12}$，
∴當n=10時，S_n取最大值S₁₀=-3×$\frac{1}{36}$+$\frac{3481}{12}$=290．
（3）由a_n=-6n+62≥0，得n≤$\frac{31}{3}$，
a₁₀=2，a₁₁=-4，
∴當n≤10時，數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n=S_n=-3n²+59n；
當n≥11時，數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n=2S₁₀-S_n=580-（-3n²+59n）=3n²-59n+580．
∴數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3{n}^{2}+59n，n≤10}\\{3{n}^{2}-59n+580，n≥11}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的第101項的求法，考查數(shù)列的前n項和的最大值的求法，考查數(shù)列{|a_n|}的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．