Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1，x∈[1，2] x-1，x∈(2，3]

，對(duì)任意的a（a∈R），記u（a）=max{f（x）-ax|x∈[1，3]}-min{f（x）-ax|x∈[1，3]}，求出u（a）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出g（x）=f（x）-ax，再分類求出函數(shù)的最大值與最小值，可得分段函數(shù)，即可求得u（a）的最小值．

解答： 解：由題意，g（x）=f（x）-ax=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

∵1≤x≤2時(shí)，g（x）=1-ax，函數(shù)單調(diào)遞減，∴g（x）∈[1-2a，1-a]
2＜x≤3時(shí)，g（x）=（1-a）x-1，函數(shù)單調(diào)遞增，∴g（x）∈（1-2a，2-3a]
若1-a＜2-3a，即a＜

1

2

時(shí)，g（x）_max=2-3a；
若1-a≥2-3a，即a≥

1

2

時(shí)，g（x）_max=1-a；
∴函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為u（a）=

1-a，a＜ 1 2 a，a≥ 1 2

∴u（a）的最小值是

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．