Question

（2012•德陽(yáng)三模）半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A與B，C兩點(diǎn)間的球面距離均為

π

2

，B、C兩點(diǎn)間的對(duì)面距離為

π

3

，則球心到平面ABC的距離為

21

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知：球心O與A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三棱錐O-ABC，且OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此題可以根據(jù)體積法求得球心O到平面ABC的距離．

解答：解：球心O與A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三棱錐O-ABC，如圖所示，
已知OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵OA=OB=OC=1，
∴AB=AC=

2

，BC=1，
∴S_△OBC=

3

4

，S_△ABC=

7

4

根據(jù)V_0-ABC=V_A-OBC得

1

3

•

3

4

•1=

1

3

•

7

4

•d，
∴d=

21

7

，球心到截面ABC的距離為

21

7

，
故答案為：

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查球面距離及相關(guān)計(jì)算、點(diǎn)到面的距離、三棱錐的結(jié)構(gòu)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象力．屬于基礎(chǔ)題．