Question

某商店商品每件成本10元，若售價為25元，則每天能賣出288件，經(jīng)調(diào)查，如果降低價格，銷售量可以增加，且每天多賣出的商品件數(shù)t與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤15）的關(guān)系是t=6x²．
（1）將每天的商品銷售利潤y表示成x的函數(shù)；
（2）如何定價才能使每天的商品銷售利潤最大？

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可解決．

解答： 解：（1）設(shè)商品降價x元，記商品每天的獲利為f（x），則依題意得
f（x）=（25-10-x）（288+6x²）=（15-x）（288+6x²）=-6x³+90x²-288x+4320（0≤x≤15）----------（6分）
（2）根據(jù)（1），有f′（x）=-18x²+180x-288=-18（x-2）（x-8）．
當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）的變化如下表：

x	[0，2）	2	（2，8）	8	（8，15]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減

故x=8時，f（x）取得極大值．因為f（8）=4704，f（0）=4320，
所以定價為25-8=17元能使一天的商品銷售利潤最大．----------（12分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬中檔題．