已知橢圓C的方程為
x2
a2
+ 
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓為橢圓C的“伴隨圓”，橢圓C的短軸長為2，離心率為
6
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，與其“伴隨圓”交于C，D兩點，當(dāng)|CD|=
13
 時，求△AOB面積的最大值．
（Ⅰ）由題意得，e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
b2
a2
=
2
3
，
又∵b=1，∴a2=3，∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1，（3分）
∵
a2+b2
=
3+1
=2，
∴“伴隨圓”的方程為x2+y2=4．（4分）
（Ⅱ）①當(dāng)CD⊥x軸時，由|CD|=
13
，得|AB|=
3
．
②當(dāng)CD與x軸不垂直時，由|CD|=
13
，得圓心O到CD的距離為
3
2
．
設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則由
|m|
1+k2
=
3
2
，得m2=
3
4
(k2+1)，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由
y=kx+m
x2
3
+y2=1
，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．
∴x1+x2=
-6km
3k2+1
，x1x2=
3m2-3
3k2+1
．（6分）
當(dāng)k≠0時，|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)[(
-6km
3k2+1
)2-
12(m2-1)
3k2+1
]
=（1+k2）[
36k2m2
(3k2+1) 2
-
12(m2-1)
3k2+1
]
=
3(1+k2)(9k2+1)
(3k2+1)2

=3+
12k2
9k4+6k2+1

=3+
12
9k2+
1
k2
+6

≤3+
12
2×3+6
=4．
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=
1
k2
，即k=±
3
3
時等號成立，此時|AB|=2．
當(dāng)k=0時，|AB|=
3
，綜上所述：|AB|max=2，
此時△AOB的面積取最大值S=
1
2
|AB|max×
3
2
=
3
2
．（10分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，橢圓C的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經(jīng)過點F2，交橢圓于A、B兩點，且△ABF1的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點E為x軸上一點，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求點E的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
2
= 1（a＞0），其焦點在x軸上，點Q(
2
2
，
7
2
)為橢圓上一點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設(shè)動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M、N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：
x
2
0
+2
y
2
0
為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過其左焦點F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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