Question

已知函數f(x)=

3x

a

-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）當a=3時，求在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=3時代入求出f（x），再求出導數f′（x）和f（1），求出切線斜率為f′（1），利用點斜式即可求得切線方程；
（2）根據函數f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調遞增函數，得f′（x）≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，然后用分離參數求出a的表達式，再構造函數求出最大值，列出關于a的不等式求解即可．

解答：解：（1）當a=3時，f（x）=x-2x²+lnx，
則f′（x）=1-4x+

1

x

，且f（1）=-1，
∴f′（1）=-2，
∴在點（1，f（1））處的切線方程是y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0，
（2）由題意得，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，
∵函數f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調遞增函數，
∴x∈[1，2]時，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0恒成立，
即

3

a

≥4x-

1

x

對x∈[1，2]恒成立，
設h（x）=4x-

1

x

，因函數h（x）在[1，2]上單調遞增，
∴

3

a

≥h(2)=4×2-

1

2

=

15

2

，解得0＜a≤

2

5

，
故a的取值范圍是（0，

2

5

]．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數研究函數單調性，以及求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強．