Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，S₅=40．等比數(shù)列{b_n}中，b₁=3，b₄=81，
（1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式   
（2）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，建立方程，求出首項(xiàng)與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，則由a₂=5，S₅=40，得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=5}\\{{a_1}+2d=8}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=3}\end{array}}\right.$，則a_n=3n-1…（4分）
（2）∵${q^3}=\frac{b_4}{b_1}=\frac{81}{3}=27$∴q=3${b_n}={b_1}{q^{n-1}}=3•{3^{n-1}}={3^n}$…（8分）
（3）${T_n}={c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}=2×3+5×{3^2}+8×{3^3}+…+（3n-1）{3^n}$①
∴$3{T_n}=2×{3^2}+5×{3^3}+8×{3^4}+…+（3n-1）{3^{n+1}}$②
①-②：$-2{T_n}=2×3+3（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（3n-1）{3^{n+1}}$
∴${T_n}=\frac{{（6n-5）{3^{n+1}}+15}}{4}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．