Question

7．已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若P是圓C與x軸的交點(diǎn)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l
（Ⅰ）求直線l的極坐標(biāo)方程
（Ⅱ）求圓C上到直線ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，得圓C的普通方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，由題設(shè)知，圓心C（1，$\sqrt{3}$），P（2，0），過P點(diǎn)的切線的傾斜角為30°，設(shè)M（ρ，θ）是過P點(diǎn)的圓C的切線上的任一點(diǎn)，由正弦定理得$\frac{ρ}{sin150°}=\frac{2}{sin（30°-θ）}$，由此能求出直線l的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線的直角坐標(biāo)方程為x+$\sqrt{3}$y+6=0，設(shè)圓上的點(diǎn)M（1+2cosθ，$\sqrt{3}+2sinθ$），求出點(diǎn)M到直線的距離d=$\frac{1}{2}[4sin（θ+\frac{π}{6}）+10]$，當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，點(diǎn)M到直線的距離取最大值，由此能求出圓C上到直線ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，得圓C的普通方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
∵P是圓C與x軸的交點(diǎn)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l
由題設(shè)知，圓心C（1，$\sqrt{3}$），P（2，0），
∠CPO=60°，故過P點(diǎn)的切線的傾斜角為30°，
設(shè)M（ρ，θ）是過P點(diǎn)的圓C的切線上的任一點(diǎn)，
則在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°-θ，∠OPM=150°，
由正弦定理得$\frac{OM}{sin∠OPM}=\frac{OP}{sin∠OMP}$，
∴$\frac{ρ}{sin150°}=\frac{2}{sin（30°-θ）}$，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+60°）=1．
（Ⅱ）∵直線ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0，
∴直線的直角坐標(biāo)方程為x+$\sqrt{3}$y+6=0，
設(shè)圓上的點(diǎn)M（1+2cosθ，$\sqrt{3}+2sinθ$），
點(diǎn)M到直線的距離：
d=$\frac{|1+2cosθ+\sqrt{3}（\sqrt{3}+2sinθ）+6|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}[4sin（θ+\frac{π}{6}）+10]$，
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，點(diǎn)M到直線的距離取最大值$\frac{14}{2}=7$．此時(shí)M（2，2$\sqrt{3}$），
∴圓C上到直線ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+6=0的距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查直線的極坐標(biāo)方程的求法，考查圓上到直線的最大距離的點(diǎn)的直角坐標(biāo)的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．