分析:根據(jù)α和β的范圍,分別求出α+β和α-β的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos(α+β)和sin(α-β)的值,由2α=(α+β)+(α-β),利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡sin[(α+β)+(α-β)],然后把相應(yīng)的值代入可求出sin2α的值;由2β=(α+β)-(α-β),利用兩角差的余弦函數(shù)公式及兩角差的正切函數(shù)公式分別表示出cos[(α+β)-(α-β)]和tan[(α+β)-(α-β)],把相應(yīng)的值代入即可求出cos2β與tan2β的值.
解答:解:∵
<α<β<,∴
<α+β<π,-
<α-β<0,
∴cos(α+β)=-
,sin(α-β)=-
,tan(α+β)=-
,tan(α-β)=-
,
則sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
=
×
+(-
)×(-
)
=
;
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=(-
)×
+
×(-
)
=-
;
tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]
=
tan(α+β)-tan(α-β) |
1+tan(α+β)tan(α-β) |
=
=-
.
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩角和與差的正弦、余弦及正切函數(shù)公式,以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,靈活變換角度,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.