Question

設(shè)O為坐標原點，拋物線y²=4x與過焦點的直線交于A、B兩點，則

OA

•

OB

=（　�。�

• A．-

  3

  4

• B．

  3

  4

• C．-3
• D．3

Answer 1

分析：由拋物線y²=4x與過其焦點（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答：解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點坐標為（1，0），
∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
由

y2=4x y=k(x-1)

⇒k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
則 x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1+k²[2-

2k2+4

k2

]=-3．
當(dāng)斜率不存在時仍然成立．
故選C．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點的直線方程，利用韋達定理予以解決，屬于基礎(chǔ)題．需要注意對斜率不存在的情況加以研究．