Question

已知函數(shù)f（x）定義域為R，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，
（2）令x＜0，且y=-x，則-x＞0，f（-x）＞1，得到0＜f（x）＜1，問題得以證明．

解答： 解：（1）令x=1，y=0
則f（1）=f（1）•f（0），
∵當x＞0時，f（x）＞1，
∴f（0）=1，
（2）令x＜0，且y=-x，則-x＞0，f（-x）＞1，
∴f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∵f（-x）＞1，
∴0＜f（x）＜1，
綜上所述，對任意x∈R，都有f（x）＞0．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達式的應(yīng)用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化化歸的思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．