Question

某老板擬贊助甲，乙，丙，丁四位年輕人創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)了六位實(shí)業(yè)家，獨(dú)立地對(duì)每位年輕人的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行投票，假設(shè)這六位實(shí)業(yè)家對(duì)甲，乙，丙，丁投票結(jié)果為“贊成”的概率分別為

1

6

，

1

4

，

1

3

，

3

4

，若某年輕人沒有人“贊成”，則老板只贊助他1萬元，且每多獲得一個(gè)人的“贊成”，就多給2萬元的創(chuàng)業(yè)贊助；令ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄分別表示甲，乙，丙，丁獲得的贊助額．
（1）寫出ξ₃的分布列和ξ₃的數(shù)學(xué)期望與方差；（相應(yīng)概率可用組合數(shù)表示）
（2）試估計(jì)這位老板的贊助總額．

Answer 1

分析：（1）ξ₃的取值可能為1，3，5，7，9，11，13，然后分別計(jì)算相應(yīng)的概率，得到分布列，記η₃表示“贊成”丙的人數(shù)，則η₃～B（6，

1

3

），再利用二項(xiàng)分布的概率公式可求出Eη₃，Dη₃，而ξ₃=1+2η₃可求出所求；
（2）同理分別求出Eξ₁，Eξ₂，Eξ₄，將這些值與Eξ₃相加即可求出所求．

解答：解：（1）ξ₃的取值可能為1，3，5，7，9，11，13
P（ξ₃=1）=

C

0 6

(

1

3

)0(

2

3

)8，P（ξ₃=3）=

C

1 6

(

1

3

)1(

2

3

)5，P（ξ₃=5）=

C

2 6

(

1

3

)2(

2

3

)4，P（ξ₃=7）=

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3，
P（ξ₃=9）=

C

4 6

(

1

3

)4(

2

3

)2，P（ξ₃=11）=

C

5 6

(

1

3

)5(

2

3

)1，P（ξ₃=13）=

C

6 6

(

1

3

)6(

2

3

)0
ξ₃的分布列為：

ξ 3	1	3	5	7	9	11	13
P	C 0 6 ( 1 3 )0( 2 3 )8	C 1 6 ( 1 3 )1( 2 3 )5	C 2 6 ( 1 3 )2( 2 3 )4	C 3 6 ( 1 3 )3( 2 3 )3	C 4 6 ( 1 3 )4( 2 3 )2	C 5 6 ( 1 3 )5( 2 3 )1	C 6 6 ( 1 3 )6( 2 3 )0

記η₃表示“贊成”丙的人數(shù)，則η₃～B（6，

1

3

），
則根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式可知Eη₃=6×

1

3

=2，Dη₃=

4

3

，
而ξ₃=1+2η₃，故Eξ₃=1+2Eη₃=5，Dξ₃=4Dη₃=

16

3

，
所以ξ₃的數(shù)學(xué)期望為5萬元，方差為

16

3

．
（2）同理Eξ₁=1+2Eη₁=3，Eξ₂=1+2Eη₂=4，Eξ₄=1+2Eη₄=10，Eξ₃=1+2Eη₃=5
估計(jì)這位老板的贊助總額為Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃+Eξ₄=22萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，以及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．