某老板擬贊助甲,乙,丙,丁四位年輕人創(chuàng)業(yè),現(xiàn)聘請(qǐng)了六位實(shí)業(yè)家,獨(dú)立地對(duì)每位年輕人的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行投票,假設(shè)這六位實(shí)業(yè)家對(duì)甲,乙,丙,丁投票結(jié)果為“贊成”的概率分別為
1
6
,
1
4
1
3
,
3
4
,若某年輕人沒有人“贊成”,則老板只贊助他1萬元,且每多獲得一個(gè)人的“贊成”,就多給2萬元的創(chuàng)業(yè)贊助;令ξ1,ξ2,ξ3,ξ4分別表示甲,乙,丙,丁獲得的贊助額.
(1)寫出ξ3的分布列和ξ3的數(shù)學(xué)期望與方差;(相應(yīng)概率可用組合數(shù)表示)
(2)試估計(jì)這位老板的贊助總額.
分析:(1)ξ3的取值可能為1,3,5,7,9,11,13,然后分別計(jì)算相應(yīng)的概率,得到分布列,記η3表示“贊成”丙的人數(shù),則η3~B(6,
1
3
),再利用二項(xiàng)分布的概率公式可求出Eη3,Dη3,而ξ3=1+2η3可求出所求;
(2)同理分別求出Eξ1,Eξ2,Eξ4,將這些值與Eξ3相加即可求出所求.
解答:解:(1)ξ3的取值可能為1,3,5,7,9,11,13
P(ξ3=1)=
C
0
6
(
1
3
)
0
(
2
3
)
8
,P(ξ3=3)=
C
1
6
(
1
3
)
1
(
2
3
)
5
,P(ξ3=5)=
C
2
6
(
1
3
)
2
(
2
3
)
4
,P(ξ3=7)=
C
3
6
(
1
3
)
3
(
2
3
)
3

P(ξ3=9)=
C
4
6
(
1
3
)
4
(
2
3
)
2
,P(ξ3=11)=
C
5
6
(
1
3
)
5
(
2
3
)
1
,P(ξ3=13)=
C
6
6
(
1
3
)
6
(
2
3
)
0

ξ3的分布列為:
    ξ 3          1      3                5         7                 9                  11         13    
P
C
0
6
(
1
3
)
0
(
2
3
)
8
C
1
6
(
1
3
)
1
(
2
3
)
5
C
2
6
(
1
3
)
2
(
2
3
)
4
C
3
6
(
1
3
)
3
(
2
3
)
3
C
4
6
(
1
3
)
4
(
2
3
)
2
C
5
6
(
1
3
)
5
(
2
3
)
1
C
6
6
(
1
3
)
6
(
2
3
)
0
記η3表示“贊成”丙的人數(shù),則η3~B(6,
1
3
),
則根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式可知Eη3=6×
1
3
=2,Dη3=
4
3
,
而ξ3=1+2η3,故Eξ3=1+2Eη3=5,Dξ3=4Dη3=
16
3

所以ξ3的數(shù)學(xué)期望為5萬元,方差為
16
3

(2)同理Eξ1=1+2Eη1=3,Eξ2=1+2Eη2=4,Eξ4=1+2Eη4=10,Eξ3=1+2Eη3=5
估計(jì)這位老板的贊助總額為Eξ1+Eξ2+Eξ3+Eξ4=22萬元.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,以及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.
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    某老板擬贊助甲,乙,丙,丁四位年輕人創(chuàng)業(yè),現(xiàn)聘請(qǐng)了六位實(shí)業(yè)家,獨(dú)立地對(duì)每位年輕人的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行投票,假設(shè)這六位實(shí)業(yè)家對(duì)甲,乙,丙,丁投票結(jié)果為“贊成”的概率分別為,,,若某年輕人沒有人“贊成”,則老板只贊助他1萬元,且每多獲得一個(gè)人的“贊成”,就多給2萬元的創(chuàng)業(yè)贊助;令分別表示甲,乙,丙,丁獲得的贊助額。

寫出的分布列和的數(shù)學(xué)期望與方差;(相應(yīng)概率可用組合數(shù)表示)

試估計(jì)這位老板的贊助總額。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江西省撫州市臨川一中高三5月模擬數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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(2)試估計(jì)這位老板的贊助總額.

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