Question

（2010•唐山三模）已知數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n、T_n，且S_n=2-2a_n，T_n=3-b_n-

1

2n-2

． 
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求

lim

n→∞

（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n）．

Answer 1

分析：（I ）由已知遞推公式可求a1=

2

3

，b1=

1

2

當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1，b_n=T_n-T_n-1，可得an=

2

3

an-1，2bn=bn-1+

1

2n-2

，通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及構(gòu)造等差數(shù)列可求a_n，b_n
（II）由Wn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，可考慮利用錯(cuò)位相減可求W_n，結(jié)合0＜

n+1

3n

＜

n+1

2n2

可求極限

解答：解：（I ）由已知可得S₁=a₁=2-2a₁，T1=b1=3- b1-

1

2-1

∴a1=

2

3

，b1=

1

2

當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2-2a_n，S_n-1=2-2a_n-1
兩式相減可得，a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1
∴an=

2

3

an-1
∴數(shù)列{a_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，以

2

3

為公比的等比數(shù)列
由等比數(shù)列的通項(xiàng)可得，an=

2

3

•(

2

3

)n-1=(

2

3

)n（3分）
當(dāng)n≥2，T_n=3-b_n-

1

2n-2

．Tn-1=3-bn-1-

2

2n-3

兩式相減可得，b_n=T_n-T_n-1=-bn+bn-1+

1

2n-2

∴2bn=bn-1+

1

2n-2

∴2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=2，2b₁=1
∴數(shù)列{2ⁿb_n}是以以1為首項(xiàng)，已2為公差的等差數(shù)列
2ⁿb_n=1+2（n-1）=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

（6分）
（II）W_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
則Wn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

1

3

Wn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

兩式相減可得，

2

3

Wn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2•

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=

2

3

 -

2(n+1)

3n+1

∴Wn=1-

n+1

3n

（9分）
當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ＞2C_n¹+2²C_n²=2n²
∴0＜

n+1

3n

＜

n+1

2n2

∵

lim

n→∞

n+1

2n2

=0
∴

lim

n→∞

(1-

n+1

3n

)=1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的項(xiàng)與和之間的關(guān)系，等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和及數(shù)列極限的求解，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．