Question

（2012•武昌區(qū)模擬）在平面x0y內(nèi)，不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域為U，不等式組

x-2y≥0 x+3y≥0

確定的平面區(qū)域為V．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標為整數(shù)的點為“整點”．在區(qū)域U任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U每次任取1個點，連續(xù)取3次，得到3個點，記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點為13個，整點在平面區(qū)域V的有3個，由此能求出這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率．
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為

1

8

×π×22=

π

2

．在區(qū)域U任取1個點，則該點在區(qū)域V的概率為

π

8π

=

1

8

，隨機變量X的可能取值為：0，1，2，3．分別求出其概率，由此能夠求出X的分布列和EX．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點為：（0，0），（0，±1），（0，±2），
（±1，0），（±2，0），（±1，±1），共13個，
上述整點在平面區(qū)域V的為：（0，0），（1，0），（2，0）共有3個，
∴P=

C 2 3 C 1 10

C 3 13

=

15

143

．…（4分）
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，
平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為

1

8

×π×22=

π

2

．
在區(qū)域U任取1個點，則該點在區(qū)域V的概率為

π

8π

=

1

8

，
隨機變量X的可能取值為：0，1，2，3．
P（X=0）=（1-

1

8

）³=

343

512

，
P（X=1）=

C

1 3

•(

1

8

)•(1-

1

8

)2=

147

512

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

8

)2•(1-

1

8

)=

21

512

，
P（X=3）=

C

3 3

•(

1

8

)3=

1

512

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	343 512	147 512	21 512	1 512

∴X的數(shù)學期望：EX=0×

343

512

+1×

147

512

+2×

21

512

+3×

1

512

=

3

8

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是歷年高考的必考題型，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．