Question

12．函數(shù)f（x）=1og₄（x²+2x+1）（a≤x≤b）的值域是[a，b]，a+b=1．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a，b是方程x²+2x+1=4^x的兩個(gè)根，求出a，b的值即可．

解答 解：由x²+2x+1＞0，解得：x≠-1，
故函數(shù)f（x）的定義域是：{x|x≠-1}，
當(dāng)a＜b＜-1時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+2x+1在[a，b]遞減，
故f（x）=1og₄（x²+2x+1）在[a，b]上為減函數(shù)，
則f（a）=b，且f（b）=a，不合題意；
當(dāng)b＞a＞-1時(shí)，函數(shù)g（x）=x²+2x+1在[a，b]遞增，
故f（x）=1og₄（x²+2x+1）在[a，b]上為增函數(shù)，
則f（a）=a，且f（b）=b，
∴a，b是方程x²+2x+1=4^x的兩個(gè)根，
∴a=0，b=1，
故a+b=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．