設函數(shù)f(x)=log
12
x
,給出下列四個命題:
①函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù);
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,則ab=1;
③函數(shù)f(-x2+2x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù);
④若0<a<1,則|f(1+a)|<|f(1-a)|;
則正確命題的序號是
 
分析:由題設條件函數(shù)f(x)=log
1
2
x
,根據(jù)對數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)對四個命題進行判斷,得出正誤
①函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的定義進行判斷正誤;
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,則ab=1,由對數(shù)的性質(zhì)進行推斷即可判斷此命題的正誤;
③函數(shù)f(-x2+2x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),由復合函數(shù)的單調(diào)性易判斷;
④若0<a<1,則|f(1+a)|<|f(1-a)|,對兩個數(shù)作差比較出它們的大小,得出正誤;
解答:解:∵f(x)=log
1
2
x

∴①函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù),此命題正確,因為f(-x)=log
1
2
|-x|=log
1
2
|x|=f(x)
此函數(shù)是一個偶函數(shù),命題是正確命題;
②若|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,則ab=1,此命題是正確命題,因為|f(a)|=|f(b)|其中a>0,b>0,a≠b,故有f(a)+f(b)=0,即log
1
2
a+log
1
2
b=0
,故有ab=1;
③函數(shù)f(-x2+2x)的定義域是(0,2),故復合函數(shù)f(-x2+2x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)錯;
④若0<a<1,則|f(1+a)|<|f(1-a)|,此命題,因為由題意f(1+a)<0,f(1-a)>0,若有|f(1+a)|<|f(1-a)|成立,則f(1+a)+f(1-a)>0,即f(1-a2)>0,即1-a2∈(0,1)顯然成立;
綜上①②④都是正確命題
故答案為①②④
點評:本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合,解題的關鍵是熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì),以及復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,解答本題時命題②④的判斷是一個難點,需要轉(zhuǎn)化后再用對數(shù)的運算性質(zhì)變形,方能判斷出命題的真假.解題的時要注意依據(jù)題意合理轉(zhuǎn)化
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