Question

已知中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，離心率e=

21

3

的雙曲線過點P（6，6）．
（1）求雙曲線方程．
（2）動直線l經過△A₁PA₂的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據題意，雙曲線的離心率e=

21

3

，由雙曲線的性質，可得

b2

a2

=

12

9

，進而可將雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=λ，λ≠0；將P的坐標代入，可得λ的值，進而可得答案；
（2）首先根據P、A₁、A₂的坐標得到三角形重心G的坐標，再假設存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，設出M、N的坐標，分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則l的方程可以設為y=m（x-2）+2，與雙曲線方程聯立消去y，可得關于x的一元二次方程，用△判斷其根的情況可得答案．

解答：解：（1）根據題意，雙曲線的離心率e=

21

3

，
則

c2

a2

=

21

9

，可得

b2

a2

=

12

9

；
設雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=λ，λ≠0；
由已知，雙曲線過點P（6，6），
將其坐標代入方程，解可得λ=1，
則a²=9，b²=12．
所以所求雙曲線方程為

x2

9

-

y2

12

=1；

（2）P、A₁、A₂的坐標依次為（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐標為（2，2）
假設存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴l(xiāng)的方程為y=m（x-2）+2，
與雙曲線方程聯立消去y，
整理得x²-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直線l不存在．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，計算量比較大，解題時，充分利用題干的條件，簡化方程，可以降低運算量，提高準確率．