Question

7．下列命題中：
①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；
②奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)；
③若奇函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，則實(shí)數(shù)a=1；
④圖象過(guò)原點(diǎn)的奇函數(shù)必是單調(diào)函數(shù)；
⑤函數(shù)y=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
⑥互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
上述命題中所有正確的命題序號(hào)是③⑥．

Answer 1

分析 ①，偶函數(shù)的圖象不一定與y軸相交，比如y=$\frac{1}{{x}^{2}}$；
②，奇函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，比如y=$\frac{1}{x}$；
③，∵奇函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$的定義域?yàn)镽，由f（0）=0，得實(shí)數(shù)a=1；
④，圖象過(guò)原點(diǎn)的奇函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，比如y=sinx；
⑤，函數(shù)y=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，x＜0時(shí)有一個(gè)，還有x=2，x=4；
⑥，根據(jù)反函數(shù)的定義可得判定．

解答 解：對(duì)于①，偶函數(shù)的圖象不一定與y軸相交，比如y=$\frac{1}{{x}^{2}}$，故錯(cuò)；
對(duì)于②，奇函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，比如y=$\frac{1}{x}$，故錯(cuò)；
對(duì)于③，∵奇函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$的定義域?yàn)镽，由f（0）=0，得實(shí)數(shù)a=1，故正確；
對(duì)于④，圖象過(guò)原點(diǎn)的奇函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，比如y=sinx，故錯(cuò)；
對(duì)于⑤，函數(shù)y=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，x＜0時(shí)有一個(gè)，還有x=2，x=4，故錯(cuò)；
對(duì)于⑥，根據(jù)反函數(shù)的定義可得，互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故正確．
故答案為：③⑥

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．